第三節:基本邏輯閘之延伸

  在生活中,如果只有三種基本邏輯的運算是不夠的,許多有關人類表達對一件事務的描述以及對情感的敘述的語意,不單單是三個基本的邏輯運算可以完成。
  同樣的,數位邏輯為了更接近人類的生活方式,也發展出一套由三個基本邏輯所延伸出來的邏輯閘,目的是為了表示三個基本邏輯運算所不好表達的意義。

小節內容

一、八個基本邏輯閘符號
二、常用邏輯符號及真值表
三、八個邏輯閘之運算表示
一、八個基本邏輯閘符號
  最常用的邏輯閘可歸納為八項:

及(AND)
或(OR)
反(NOT)
緩衝(buffer)
反及(NAND)
反或(NOR)
互斥或(XOR)
反互斥或(XNOR)
圖3-4 常用邏輯閘符號

  每一個閘都有一至二個「二進位」的輸入變數,這就是在邏輯中所稱的邏輯變項。這裡以A、B等表示,當然也可以用其他的英文符號表示,只不過我們習慣上以英文的前幾項代表。另外還有一個輸出變數,以小寫字母x表示;當然也可以用其他的小寫字母表示。
  上一節已經針對其中三種最基本的邏輯閘AND、OR、NOT作介紹,本節主要是針對其他五項由基本邏輯閘所延伸出來的邏輯運算,加以介紹。
1. NAND運算:
基本邏輯閘符號

如上圖所示,NAND就是AND加上NOT的運算。
  NAND閘是AND閘的反相,其符號就是AND閘符號的輸出處加上一個小圓圈。NAND是由NOT-AND縮寫而來的,因為NAND是作為AND的反相,所以用「AND-NOT」表示更合適。AND是輸入有0,輸出是0,NAND閘則是:
輸入有0,輸出就是1;輸入都是1,輸出才是0。

NAND真值表如下圖所示:


  為了清晰的以時間序列表示NAND的工作情況,我們把輸入A、B和輸出Y的情況和時間軸並列。High表示1,Low表示0。


圖3-5 NAND閘的真值表和時序圖

  如同它們的名字,NAND是在AND的輸出端加上NOT而成的;而NOR是在OR的輸出端加上NOT。
  真值表指出,NAND閘只要有一輸入端為0,輸出Y就是1,也就是說,必須所有輸入都為1時,輸出Y才會是0。因此,我們可以在強調一次:
NAND閘是輸入有0,輸出就是1。

NAND邏輯閘符號及三輸入狀態真值表如下圖所示:


2. NOR運算:
基本邏輯閘符號

如上圖所示,NOR就是OR加上NOT的運算。
  NOR閘是OR閘的反相,其符號就是在OR閘符號的輸出處加上一個小圓圈。NOR是由NOT-OR縮寫而來的。因為NOR是作為OR的反相,所以用「OR-NOT」表示更合適。NOR閘是:
輸入有1,輸出就是0;輸入都是0,輸出才是1。

NOR真值表如下圖所示:


NOR邏輯閘符號及三輸入狀態真值表如下圖所示:


3. XOR運算:
基本邏輯閘符號


  互斥或閘(XOR),就是邏輯上所稱的不相容或閘。符號和或閘相似,輸入端比或閘多了一條曲線,表示是不相容的。

XOR真值表如下圖所示:


XOR邏輯閘符號及三輸入狀態真值表如下圖所示:


由上面真值表中又可以發現,輸入狀態為1的總數為單數時,Y=1,為偶數或全部為0時,Y=0。

4. XNOR運算:
基本邏輯閘符號

如上圖所示,XNOR就是XOR加上NOT的運算。
  反互斥或閘是XOR閘的反閘。在XOR閘的輸出端多了一個小圓圈,互斥或閘的反邏輯就是等值。也就是:
輸入都是0或1時,輸出為1。
輸入不相同時,輸出為0。

XNOR真值表如下圖所示:


XNOR邏輯閘符號及三輸入狀態真值表如下圖所示:


  由上面真值表中亦可以發現,輸入狀態為1的總數為單數時,Y=0,為偶數或全部為0時,Y=1,這恰巧與XOR的結果相反。

5. 緩衝器Buffer:
基本邏輯閘符號


  緩衝器不具任何邏輯的功能。其輸入和輸出的二進位值相同。緩衝器只作信號放大的工作。例如,輸入一個以5V表示二進位數值1的緩衝器,只要輸入是5V,輸出就是5V。輸出處的電流比輸入處的電流大很多。這一緩衝器的作用是「電子電路」的作用,用來推動其他需要大電流的邏輯閘。

6. 三態閘:
基本邏輯閘符號


  三態閘顧名思義,就是比一般的邏輯閘只有0、1的狀態多一種高阻抗(Z)的狀態,三態閘的邏輯符號和真值表如下圖所示:

若控制腳E為0時,邏輯閘是被失能(Disable)的,若E為1,則邏輯閘為NOT的功能。


二、常用邏輯符號及真值表: Top
1. 單端輸入邏輯閘
  目前市面上可以買到的邏輯閘共有八種。其中兩種是一輸入端和一輸出端的邏輯閘。一個叫Buffer,一個叫NOT。
  而另外的六種邏輯閘則有兩個以上的輸入端,一個輸出端。

表3-2 Buffer和NOT


2. 二輸入端邏輯
  基本的邏輯閘除了Buffer與Not外,大都是二個以上的輸入;常用的二輸入端邏輯閘有下列六種:

表3-3 AND、OR、NAND、NOR、XOR及XNOR綜合真值表



三、八個邏輯閘之運算表示 Top
1. 單端輸入邏輯閘
  邏輯閘是二值性的變數,可用數學方法描述二值性資料處理及運算情形。二值性邏輯閘包括二值性變數及邏輯運算,通常變數以字母A、B、C、x、y、z等來表示,每個變數只有二值,0和1。三個基本的邏輯運算為AND、OR和NOT。八個基本邏輯閘除前述三個外,增加上一節所提到的buffer、NAND、NOT、XOR、XNOR等五個。其中NOT閘另可叫inverter;XOR是exclusive-OR的簡寫;XNOR是exclusive-NOR的簡寫。以下延伸八個邏輯閘之表示式。

有了八個邏輯閘符號、真值表、數學算式後,當然必須再把它們綜合在一起。請參見表3-4。

表3-4 常用邏輯閘符號、真值表及數學式

Name
Graphicsymbol
AlgebraicFunction
Truthtable
Inverter
Buffer
AND
OR
NAND
NOR
Exclusive-OR
(XOR)
Exclusive-NOR
or
equivalence